高等数学(上册)第五章: 定积分


定积分的概念与性质

定积分的性质


微积分基本公式

定理1

如函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续,那么积分上限的函数
$$
\Phi(x)=\int_{a}^{x} f(t) d t
$$
在$[a,b]$上可导,并且它的导数
$$
\Phi^{\prime}(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t=f(x) \quad(a \leqslant x \leqslant b)
$$

定理2

如果函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续,那么函数
$$
\Phi(x)=\int_{a}^{x} f(t) d t
$$
就是$f(x)$在$[a,b]$上的一个原函数。

定理3(微积分基本定理)

如果函数$F(x)$时连续函数$f(x)$在区间$[a,b]$上的一个原函数,那么
$$
\int^b_af(t)dt=F(b)-F(a)=[F(x)]^b_a
$$


定积分的换元法和分部积分法

定积分的换元法

定积分的分布积分法

$$
\begin{aligned}
\int_{a}^{b} u(x) v^{\prime}(x) \mathrm{d} x &=\left[\int u(x) v^{\prime}(x) \mathrm{d} x\right]{a}^{b} \
&=\left[u(x) v(x)-\int v(x) u^{\prime}(x) \mathrm{d} x\right]
{a}^{b} \
&=[u(x) v(x)]{a}^{b}-\int{a}^{b} v(x) u^{\prime}(x) \mathrm{d} x
\end{aligned}
$$

简记作
$$
\int_{a}^{b} u \mathrm{d} v=[u v]{a}^{b}-\int{a}^{b} v \mathrm{d} u
$$


反常积分

无穷限的反常积分

$$
\int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x=\lim {t \rightarrow+\infty} \int{a}^{t} f(x) \mathrm{d} x
$$


反常函数审敛法

无限反常函数审敛法

无界函数的反常积分的审敛法


Final

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