高等数学(上册)第一章:函数与映射


函数与极限

实数的重要性质

有序性

  • 对于任意的两个实数$a,b$,$a>b,a<b,a=b$,三者比必居其一且只是其一
  • 若$a\leq b,a\geq b$,则$a=b$.
  • a,b,c为实数

有界性

对于任意实数$a$,总存在一实数$b$使$a<b$,无上界。

稠密性

  • 任意性

  • 推论

    对于任意两实数$a<b$,

    都存在实数$\delta >0$,

    使$a<b<\delta$。

  • 连续性

连续性

实数与直线上的点一一对应。


集合与平面集

领域

$a与\delta(\delta>0)$是两个实数,数集${x||x-a|<\delta}$称为点$a$的领域。点$a$称为领域中心,$\delta$称为领域半径。

点$a$的去心领域:


常用不等式

  • 绝对值不等式

  • 三角不等式

  • 平均值不等式

    则有:

  • 柯西——施瓦兹不等式

    设$a_i,b_i$是实数$(i=1,2,3,4,\cdots,n)$

函数的概念

定义

设$x,y$是两个变量,$D$是一个给定的数集,如果对于每个数$x\in D$,变量$y$按照一定法则总有确定的数值与之对应,则称$y$是$x$的函数/

  • 单值函数
  • 多值函数

定义二

  • 分段函数

  • 取整函数$y=[x]$,表示不超过$x$的最大整数。

  • 迪利克雷函数

  • 取最值函数

函数的初等函数

  • 函数的有界性

    $f(x)$在$i$上有界$\iff$$f(x)在i$上既有上界又有下界。

  • 无界性

    若$I\in D,\forall m>0,\exists x_0 \in I$,使$|f(x_0)|>m$,则$f(x)$在$I$上无界。

  • 单调性

  • 奇偶性

  • 周期性

反函数

单调函数一定存在单调反函数

反三角函数

推论一

如果$\lim f(x)$存在,且$c$围为常数,则$\lim cf(x)=c\lim f(x)$

推论二

若$\lim|f(x)|^n=[\lim xf(x)]^n$,,则$f(x)$存在。

推论三

若$\lim f(x)存在,且f(x)\geq0$,则$\lim\sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{\lim f(x)}$

常用等价无穷小及其性质

当$n\rightarrow0$时

函数的运算

  • 和差

初等函数

  • 幂函数:$y=x^\mu(\mu 时常数)$
  • 指数函数:$y=a^x(a>0,且a\neq 1)$
  • 对数函数:$y=\log_ax,(a>0,a\neq1)$
  • 三角函数:$y=\sin x,y=\cos x,y=\tan x$
  • 反三角函数:$y=\arcsin x,y=\arccos x,y=\arctan x$

双曲函数与反双曲函数

反双曲函数

推论


数列的极限

数列的概念

如果按照某一法则,对每一个,对应着一个确定的实数$x_n$,这些实数$x_n$按照下标$n$从小到大排列得到的一个序列

就叫做数列,记为数列${a_n}$

定义

设${a_n}$为一整数列,如果存在常数$a$,对于任意给定的整数$\epsilon$,无论它多么小,总存在正整数$N$,使得当$n>N$时,不等式$|x_n-a|<\epsilon$都成立,那么就称常数$a$式数列${a_n}$的极限,或者称数列收敛于$a$,记为

如果不存在这样的常数,则称该数列没有极限,或者说该数列式发散的。

收敛数列的性质

定理1(极限的唯一性)

如果数列收敛,那么它的极限唯一。

定理2(收敛数列的有界性)

如果数列收敛,那么数列一定有界。

定理3(收敛数列的保号性)

如果数列收敛,那么存在整数N,当n>N时,都有$x_n>0(或x_n<0)$.

定理3(收敛数列与其子数列间的关系)

如果数列收敛,那么他的任意子数列也收敛,并且极限也是a.

函数的极限

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函数极限的性质

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无穷大与无穷小

定义一

如果函数$f(x)$当$x\rightarrow x_0(或x\rightarrow \infty)$时的极限wei为零,那么称函$f(x)$为当$x\rightarrow _0(或x_0\rightarrow \infty)$时的无穷小

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极限运算法则

定理

  • 两个无穷小的和时无穷小
  • 有界函数与无穷小的乘积时无穷小

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极限存在准则与俩个重要极限

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准则二

单调有界函数必有极限。

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无穷小的比较

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函数的间断性与间断点

基本初等函数在它们的定义域内都是连续的。

闭区间上连续函数的性质

一致连续性


Final

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Author: Gatsby
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