概率论与数理统计(第一章):概率论的基本概念


  • 教材:普通高等教育“十一五”国家级规划教材《概率论与数理统计》(第四版)

  • 授课教师:孙小娟

随机现象

在个别试验中其结果横线处不确定性,在大量重复试验中其结果又具有统计规律性的现象。

随机试验

随机试验的特点

  • 可以在相同的条件下重复地进行;
  • 每次试验的可能结果不止一个,并且能实现明确试验的所有可能结果;
  • 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现;

样本空间、随机事件

随机试验E的所有可能结果主城的集合称为E的样本空间,记为$S_.$样本空间的元素,即E的每个结果,称为样本点

试验$E$的样本空间$S$的子集称为随机事件,在每次试验中,当且仅当这一子集中的一个样本点出现时,称这一事件发生。

而由一个样本点组成的单点集,称为基本事件

样本空间$S$包含是所有的样本点,它是$S$自身的子集,在每次实验中它总是发生,$S$称为必然事件,$\phi$空集不包含任何样本点,它在每次试验中都不发生,$\phi$被称为不可能事件

事件间的关系与事件的运算

事件关系

  • $A \subset B$

    则称事件$B$包含事件$A$,这指事件$A$发生必然导致事件$B$发生。
    而$A=B$时,则$A \subset B$且$B\subset A$,表明两事件相等。

  • 事件$A \cup B = {x|x \in A 或 x\in B}$

    称为事件$A$与事件$B$的和事件,当且仅当$A$,$B$中至少有一个发生时,事件$A \cup B$发生。

    类似地,称为n个事件的和事件;称为可列个事件的和事件。

  • 事件$A \cap B= {x|x\in A 且 x\in B}$

    称为事件$A$与事件$B$的积事件。当且仅当$A$,$B$同时发生时,事件$A\cap B$发生,$A\cap B$也记作$AB$。

  • 事件$A-B={x|x\in A且x\notin B }$

    称为事件$A$与$B$的差事件。当且仅当$A$发生、$B$不发生时事件$A-B$发生。

  • 若$A\cap B=\varnothing$

    称事件$A$与事件$B$是互补相容的,或是互斥的,这指两事件不能同时发生,基本事件是两两互不相容的。

  • 若$A\cup B=S 且 A\cap B=\varnothing$

    称事件$A$与$B$事件互为逆事件,又称两事件互为对立事件。
    $A$的对立事件记为$\bar{A}$。$\bar{A}=S-A$

事件运算

  • 交换律

    $A\cup B = B\cup A$;$A\cap B = B\cap A$

  • 结合律

    $A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C$
    $A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C$

  • 分配率

    $A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$
    $A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)$

概率与频率

频率

在相同的条件下,进行$n$次试验,在这$n$次试验中,事件$S$发生的次数$n_A$称为$A$发生的频数。

比值$\frac{n_A}{n}$称为事件$A$的频率,并记成$\int_n(A)$。

易见频率的基本性质:

  • $0\leq \int_n(A)\leq1$;
  • $\int_n(S)=1$
  • 若$A_1,A_2,\cdots,A_n$是两两不相容事件

    .

概率

设$E$是随机试验,$S$是它的样本空间。对于$E$的每一个事件$A$赋予一个实数,记为$P(A)$,称为事件$A$的概率。满足下列条件:

  • 非负性

    对于每一个事件$A$,有$P(A)\geq 0 $;

  • 规范性

    对于必然事件$S$,有$P(S)=1$;

  • 可列可加性

    设$A_1,A_2,\cdots$是两两互不相容的时间,即对于$A_iA_j= \varnothing,i\neq j,i,j=1,2,\cdots$,有

概率的一些重要性质

  • $P(\varnothing)=0$
  • 有限可加性
    >
  • 设$A,B$是两个事件,若$A\subset B$,则

  • 对于任一事件$A$,$P(A)\leq1$

  • 逆事件概率为$P(\bar{A})=1-P(A)$

  • 加法公式

对于任意两事件$A,B$有

对于与任意三个事件,有

等可能概型(古典概型)

特征

  • 试验的样本空间只包含有限个元素;

    $S={e_1,e_2,\cdots,e_n}$

  • 试验中每个基本事件的发生可能性相同;

    则有$P({e_1})=P({e_2})=\cdots P({e_n})=\frac{1}{n}$

条件概率

定义

设$A,B$是两个事件,且$P(A)>0$,称

推论

对于任意事件$B_1,B_2$有

乘法定理

设$P(A)>0$,则有

  • 乘法公式

    $P(AB)=P(B|A)P(A)$

  • 推论

    $P(ABC)=P(C|AB)P(B|A)P(A)$

全概率公式和贝叶斯公式

全概率公式
设实现$E$的样本空间为$S$,$A$为$E$的事件,$B_1,B_2\,\cdots,B_n$为$S$的一个划分,且$P(B_i)>0(i=1,2,\cdots,n)$,则

贝叶斯公式

设试验$E$的样本空间为$S$,$A$为$E$的事件,$B_1,B_2,\cdots,B_n$为$S$的一个划分,且$P(A)>O,P(B_i)>0,(i=i,2,\cdots,n)$,则

>

$n=2$时的常用形式

独立性

定义

设$A,B$事件,如果满足等式$P(AB)=P(A)P(B)$,则称事件$A,B$相互独立,简称$A,B$独立。

  • 定理一

    $A,B$是两事件,且$P(A)>0$.若$A,B$相互独立,则$P(B|A)=P(B)$,反之亦然。

  • 定理二

    若事件$A$与$B$相互独立,则下列事件也相互独立:
    .

  • 推广

    设$A,B,C$是三个事件,如果满足等式
    则称事件$A,B,C$相互独立。

若事件$A_1,A_2,\cdots,A_n(n\geq2)$相互独立则,

其中任意$k(2\leq k\leq n)$个事件也相互独立。
将其中任意多个事件换成他们各自的对立事件,所得的$n$个事件仍相互独立。


Author: Gatsby
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