高等数学第七章:向量代数与解析空间解析几何


教材:《高等数学(下册)》——北京:高等教育出版社出版社

向量的概念及其计算

相关概念

既有大小,又有方向的量。
向量$\overrightarrow{AB}$的模为$|\overrightarrow{AB}|$。模为零的向量称为零向量,模为1的向量称为单位向量。而与$a$同方向的单位向量称为$a$的单位向量,记作$e_a$。

向量间的关系

  • 相等
    若向量$a$与向量$b$同方向且模相等,则称两向量相等,记作$a=b$。

  • 负向量
    若$a$与$b$的模相等,若方向相反,则称为负向量,记作$ab$.

  • 平行
    若两非零向量方向相同或相反,则称相互平行,记作$a\parallel b$。

  • 向量共面
    若有$n(n\geq 3)$个向量,通过平移使得它们有共同的起点,如果它们的终点共面,则称这$n$个向量共面。

  • 向量的夹角
    若向量$a$与$b$都是非零向量,通过平移使得有共同的起点$O$,记$\overrightarrow{OA}=a,\overrightarrow{OB}=b$,称不超过$\pi$的$\angle AOB$为两向量的夹角,记作$(\widehat{a,b})$.

  • 垂直
    若两项$a,b$的夹角为$\frac{\pi}{2}$,则称他们互相垂直

向量的线性运算

向量运算满足交换律与结合律

三角不等式

数乘运算

  • $\lambda a$的模:$|\lambda|\cdot|a|$,其中$\lambda$为任意实数。
  • $\lambda a$与$a$平行。
  • 推论:

    向量的投影
    若两非零向量$a,b$的夹角$\theta\neq\frac{\pi}{2}$,则可记向量$b$在向量$a$上的投影为$(b)_a$,或$Prj_aB$.

    性质
    $(kb)_a=k(b)_a,(b+c)_a=(b)_a+(c)_a$

向量的数量积与向量积

数量积
定义

设有两个非零向量$a与b$,它们夹角为$(\widehat{a,b})$,称实数$|a||b|\cos(\widehat{a,b})$为向量$a与b$的数量积,记作$a\cdot b$,即有

若$a与b$中有一个零向量,则定义其数量积为零。

数量积的运算规律

  • 交换律
  • 分配律

向量的向量积

定义

设$a与b$是不

共线的非零向量,若存在向量$c$满足

  • $c$的模:$|c|=|a||b|\sin(\widehat{a,b})$;
  • $c$的方向满足右手系法则,如图;

    此处输入图片的描述

则称$c$为两向量$a,b$的向量积,也称作叉乘,记作$c=a\times b$.
共线向量的向量积为零向量。

向量积的规律


空间直角坐标系

在空间中任取一点$O$,过点$O$做相互垂直的三条数轴:$x,y,z$,,分别称为横轴纵轴竖轴

空间中点的坐标

三个实数构成的三元有序数列的全体记作$R^3$表示空间中的坐标。即:

向量的坐标

表示:

以$i,j,k$表示与$x,y,z$轴正向的单位向量。有:

向量的分解式

其中$xi,yj,zk$分别称为$a$沿$x,y,z$轴方向的分向量

向量的运算及其向量有关量的坐标表示

  • 加减运算

    设有向量$a=(x_1,y_1,z_1),b=(x_2,y_2,z_3)$,则有

  • 数乘运算

    若$y$为实数,则

    平行的冲要条件:

  • 向量的数量积

    若两向量$a=x_1i+y_1j+z_1k,b=x_2i+y_2j+z_3k$,则

  • 向量的模与单位向量

    $a$的模:

    单位向量:

  • 向量坐标的计算、两点检距离公式及中点坐标

    设有点$P_1(x_1,y_1,z_1),P_2(x_2,y_2,z_2)$,则

    距离为:

    中点坐标:

  • 两向量的夹角公式和向量的方向余弦

    设有两点$a=(x_1,y_1,z_1),b=(x_2,y_2,z_2)

    则两向量夹角的余弦为:

    若$a\bot b$:

    方向余弦:

    定义非零向量$a$与$i,j,k$的夹角$\alpha,\beta,\gamma$分别为$a$,与$x,y,z$轴的夹角,通常称为方向角。则三个方向角的余弦分别为:

    同时,

    易验证:

  • 向量的投影

    向量的数量积与向量的投影之间的关系:

  • 向量的向量积

    设有向量$a(x_1,y_1,z_1),b(x_2,y_2,z_2)$

    则有:

    行列式形式:

  • 向量的混合积

    定义:

    设有三个向量$a,b,c$先作两向量$a,b$的向量积$a\times b$,再求所得到的新的向量$a\times b$与向量$c$的数量积$(a\times b)\cdot c$称为三向量$a,b$和$c$的混合积,记作$[a b c]$

    坐标表示:

    设有向量$a=(x_1,y_1,z_1),b=(x_2,y_2,z_2),c=(x_3,y_3,z_3)$

    三个向量$a,b,c$共面的充分条件:

平面

平面的方程

  • 点法式

  • 一般式


Author: Gatsby
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