高等数学(上册)第三章:微分中值定理和导数的应用


微分中值定理

费马定理

通常称导等于零的点为函数的驻点(或稳定点,零界点)

罗尔定理

拉格朗日中值定理

如果函数$f(x)$满足:

  • 在闭区间$[a,b]$上连续;
  • 在开区间$(a,b)$可导,

那么在$(a,b)$内至少有一点$\xi \quad(a<\xi<b)$,使等式:

成立。

几何意义

上式可变换为:

如果连续曲线$y=f(x)$的弧$\widehat{AB}$上除端点以外,处处具有不垂直与$x$轴的切线,那么曲线上至少有一点的切线平行于$AB$.

柯西中值定理

如果函数$f(x),F(x)$满足:

  • 在闭区间$[a,b]$上连续;
  • 在开区间$(a,b)$可导,

那么在$(a,b)$内至少有一点$\xi$,使等式


洛必达法则

定理一

例题 求$\lim\frac{x^{3}-3 x+2}{x^{3}-x^{2}-x+1}$

注意:上式中的$\lim\frac{6x}{6x-2}$已不是不定式,不能对它使用洛必达法则。

定理二

:求$\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{x^n}{e^{\lambda x}}$,($n$为正整数,$\lambda>0$)


泰勒公式

泰勒中值定理1

如果函数$f(x)$在$x_0$处具有$n$阶导数,那么存在$x_0$的一个领域,对于该领域内的任一$x$,有

其中,

泰勒中值定理2

可得近似式

对应的误差估计式变成

:写出函数的带有拉格朗日余项的n阶麦克劳林公式.

因为

所以

此时产生的误差为

如果取$x=1$,则得到无理数$e$的近似式为

其误差为

当$n=10$时可算出$e\approx 2.718 282$,其误差不超过$10^{-6}$。


函数的单调性和曲线的凹凸性

函数单调性的判定法

定理一

曲线的凹凸性和拐点


函数的极值与最大值和最小值

函数极值的求法


曲率

我们用$\frac{|\Delta\alpha|}{\Delta s}$,即单位弧段上切线转过的大小来表示弧段$\widehat{MM^{\prime}}$的平均程度,把该比值叫做它的平均曲率,记作$\overline{K}$,即

直线的曲率为零,圆的曲率为$\frac{1}{a}$。

弧微分公式

曲率半径公式

推导过程见:https://www.cnblogs.com/fujj/p/9704589.html

对于参数方程确定的曲线

曲率中心的计算公式 渐屈线和渐伸线


Final

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2020-02-01
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