高等数学(上册)第二章:导数与微分


摘要

导数的概念

定义

特定点的导数表达式

以及

定义式

左导数与右导数

导数的几何意义

则在该切点的切线方程为:

而过其切点$M(x_0,y_0)$且与切线垂直的直线叫做曲线$y=f(x)$在点$M$处的法线,则该法线方程为

其中$f\prime(x_0)\neq 0$


函数的求导法则

函数的和,差,商,积的求导法则

式2的证明:

式3的证明

反函数的求导法则

简单来说,反函数的导数等于直接函数导数的倒数。

复合函数求导法则

基本求导法则与导数公式


高阶导数

$y=f(x)$的导数$f\prime(x)$叫做$y=f(x)$的一阶导数。

$\ln(1+x)$的$n$阶导数

$u(x) \cdot v(x)$的$n$阶导数

用数学归纳法证明


隐函数相关

例,

求$y=\sqrt{\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)}}$的导数。

先对两边取对数

由参数方程确定的函数的导数

在上式中如果函数$x=\varphi(t)$具有单调连续反函数$t=\varphi^{-1}(x)$,且反函数能与函数$y=\psi(t)$构成复合函数,那么参数返程(4-3)所确定的函数可以堪成事有函数$y=\psi(t), t=\varphi^{-1}(x)$复合而成的函数$y=\psi\left[\varphi^{-1}(x)\right]$.假定函数$x=\varphi(t), y=\psi(t)$都可导,而且$\varphi^{\prime}(t) \neq 0$。于是根据复合函数的求导法则与反函数的求导法则有:

​ 即

上式也可以写成

如果$x=\varphi(t), y=\psi(t)$二阶可导,那么又可得到函数的二阶导数公式


函数的微分

微分的定义

函数$f(x)$在点$x_0$可微的充分必要条件是函数$f(x)$在点$x_0$处可导,且当$f(x)$在点$x_0$可微时,其微分一定是

当$f\prime(x_0)\neq 0$有

结论:

在$f\prime(x_0)\neq 0$的条件下,以微分$\rm d y=f\prime(x_0)\Delta$近似替代增量$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$其误差为$o(\mathrm{d} y)$.因此,在$|\Delta x|$很小时,有近似等式

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基本初等函数的微分公式与微分运算法则

首先,函数微分的表达式

基本初等函数微分公式

函数运算的微分法则

复合函数微分法则


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摘要 导数的概念定义 特定点的导数表达式 f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{0}\right
2020-01-18
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